| Studiengang Medien und Informationswesen |
| Physik Mechanik (Dynamik der Drehbewegung) |
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Drehbewegung des starren Körpers
Wiederholung:
- Kinematik: Kugel wird durch Radialbeschleunigung
, die nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert, auf
der Kreisbahn gehalten. - Dynamik: Ursache für die Radialbeschleunigung
ist die Zentripetalkraft
mit dem Betrag 
. Sie greift an der Kugel an. Die Zentrifugalkraft ist die Gegenkraft 
; sie greift (für den äußeren Beobachter) an der Hand an. Aber: Astronaut verspürt keine Kräfte, da die Zentrifugalkraft durch die Gravitationskraft aufgehoben wird ("Schwerelosigkeit").
Eigenschaften eines starren Körpers
Anfänglich Beschränkung auf "starre Körper" sinnvoll:
Einen starren Körper denken wir uns aus vielen einzelnen Massepunkten zusammengesetzt, die ihre Lage gegeneinander unverändert beibehalten, gleichgültig, welchen Einflüssen der Körper unterliegt.
Begriff stellt sehr nützlich Fiktion dar.
Ziel: Berechnung der kinetischen Energie, die in der Drehbewegung um eine Achse des Körpers steckt.
Vorgehen: Körper wird aus kleinen Massenelementen 
zusammengesetzt:
Kinetische Energie eines Massenelements: 
Kinetische Energie des gesamten Körpers: 
Für die geradlinige Bewegung repräsentiert die Masse m in der Formel 
die "Trägheit". Die Größe J hat bei der
Drehbewegung die gleiche Funktion (® Trägheitsmoment).
Ein Körper aus N Massenelementen 
mit den Abständen 
von der Drehachse hat in bezug auf diese das
Massenträgheitsmoment
bzw. bei Zerlegung in beliebig kleine Massenelemente
dm: 
Tabelle der Massenträgheitsmomente; bei der Angabe des Massenträgheitsmoments muß immer die Lage der Drehachse angegeben werden!
Ein Körper besitzt in bezug auf eine bestimmte Achse sein größtes und in bezug auf eine andere Achse sein kleinstes Massenträgheitsmoment: Diese beiden Achsen stehen immer senkrecht aufeinander! Einschließlich der auf diesen beiden Achsen senkrecht stehenden dritten Drehachse nennt man sie Hauptträgheitsachsen, die zugehörigen Massenträgheitsmomente Hauptträgheitsmomente.
Bei homogenen geometrischen Körpern sind dies gleichzeitig die Symmetrieachsen (Körperachsen).
Diskussion: Styrodur-Quader - Welche Achse hat das größte, kleinste, mittlere Massenträgheitsmoment?
Versuch: freie Rotation um Hauptträgheitsachsen (Holzblock mit Löchern)
Die Rotation eines starren Körpers um eine beliebige Schwerpunktachse läßt sich als Überlagerung dreier gleichzeitiger, voneinander unabhängiger Rotationen um die drei Hauptträgheitsachsen darstellen. In bezug auf andere, senkrecht aufeinander stehende Achsen ist dies nicht möglich:
Weiterer Fall: Achse geht nicht durch den Schwerpunkt des starren Körpers.
Gesamte kinetische Energie setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
- Mit "Gelenk" bei S tritt nur die kinetische Energie der Drehbewegung um die
Drehachse D auf:
- Dreht der Körper mit, so dreht er sich bei einer Umdrehung um die Drehachse genau
einmal um seine Schwerpunktsachse S:
Steinerscher Satz: Das Gesamtmassenträgheitsmoment eines Körpers, der nicht um eine Schwerpunktachse gedreht wird, ist die Summe des Massenträgheitsmoments um die zur Drehachse parallele Schwerpunktsachse und des Massenträgheitsmoments der "Punktmasse" um die Drehachse:
Beispiel: Styrodur-Quader mit Breite 0,145 m und Tiefe 0,09 m (Dicke 0,02 m). Wie groß ist das Massenträgheitsmoment, wenn man den Körper um die Ecke dreht, im Vergleich zum Massenträgheitsmoment um die Schwerpunktsachse?
Massenträgheitsmoment um die Schwerpunktsachse x:
Abstand der Drehachse von der Schwerpunktsachse (quadriert):
Massenträgheitsmoment um die Drehachse x':
Was sind Drehkräfte? Kräfte auf derselben Wirklinie verursachen keine Drehungen. Es ist eine "Hebelarm" notwendig, um Drehbewegungen zu bewirken.
: Kraft entlang der Achse wird
durch die Lager aufgenommen (Längskraft).
hat eine radiale Komponente 
, die durch die Lager aufgenommen wird
(Querkraft), und eine tangentiale Komponente 
. Berechnung
des Betrags: 
Man kann um so leichter ziehen, je weiter man
außen zieht: Drehmoment = Hebelarm × Kraft.
In Formeln: 
Vektor, der senkrecht auf der Drehebene steht (gemäß der "Rechtsschraubenregel")
Das axiale Drehmoment 
ist das
vektorielle Produkt aus Radiusvektor 
und der Kraft in der Drehebene: 
Dynamische Grundgleichung der Drehbewegung
Windrad, Turbinenrad (als Beispiel eines starren Körpers): Drehbar gelagertes Rad mit Massenelementen, auf die durch die Ablenkung des Luftstroms eine tangentiale Kraft wirkt.
Wirkung des Drehmoments: Rad erfährt eine Beschleunigung 
Berechnung des Drehmoments: 
Diese dynamische Grundgleichung der Drehbewegung kann auch vektoriell formuliert
werden: 
Umgekehrte Formulierung der dynamischen Grundgleichung: Ist ein Körper im statischen
Gleichgewicht (
), so verschwindet die Vektorsumme aller
Drehmomente und aller Kräfte auf den Schwerpunkt.
Arbeit und Leistung bei Drehbewegungen
Berechnung der verrichteten Arbeit durch die Drehbewegung: 
bzw. bei zeitlich veränderlichem Drehmoment: 
Momentanleistung der Drehbewegung bei konstantem Drehmoment:
entspricht "
" bei der linearen Bewegung
Unterschied zwischen Diesel- und Ottomotor:
- Diesel: M groß und w klein
- Benziner: M klein und w groß
Vergleich von Rotation und Translation
Drehimpuls eines Massenpunktes
Die oben stehende Tabelle zeigt, dass zum Bahnimpuls bisher kein korrespondierendes Konzept definiert wurde. Anhand der Analogie zwischen Masse und Massenträgheitsmoment bzw. Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit würde man erwarten, dass die jeweils letztgenannten Größen eine Rolle spielen, also Drehimpuls ~ J × w .
Verfolgt ein Beobachter ein mit konstanter Geschwindigkeit vorbeifliegendes Objekt, so muß er selbst eine Drehbewegung durchführen:
In der zweiten "Momentaufnahme" (linke Bildhälfte) stellt der Beobachter
eine momentane Winkelgeschwindigkeit 
und ein
Massenträgheitsmoment von 
fest. Der Drehimpuls ist dann 
. Da nun 
ist, stellt sich
heraus, dass der Drehimpuls als Vektorprodukt des Ortsvektors und des Bahnimpulses
geschrieben werden kann:
Die nachstehende Abbildung zeigt, wie der Drehimpuls für vorgegebenen Ortsvektor und Bahnimpuls gerichtet ist:
Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Drehmoment
Zu der Beziehung 
gibt es für die Drehbewegung eine
analoge Beziehung
,
weil einerseits die Produktregel angewendet werden muß und andererseits das Vektorprodukt gleichgerichteter Größen verschwindet:
Aus der Formel 
kann umgekehrt
geschlossen werden, dass der Drehimpuls eines Körpers erhalten bleibt, sofern kein
(äußeres) Drehmoment auf ihn wirkt.
Drehimpuls eines starren Körpers
An dem in der nachstehenden Abbildung gezeigten idealisierten starren Körper, der nur aus einer Masse m besteht, die durch masselose Stangen und die eingezeichneten Lager gehalten wird, kann der Drehimpuls durch eine zur Winkelgeschwindigkeit parallele und eine dazu senkrechte Komponente dargestellt werden:
Dabei ändert 
ständig seine Richtung, während die von
konstant bleibt. 
hat den
Betrag 
.
In dem gezeigten Fall sind der Drehimpuls 
und die
Winkelgeschwindigkeit 
nicht parallel.
Erst wenn man eine zweite Masse auf der anderen Seite der Drehachse hinzufügt, heben sich die zur Drehachse senkrechten Drehimpulsanteile auf und somit liegt der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit.
Es gilt also: Bei einem um die Symmetrieachse rotierenden (symmetrischen) starren
Körper liegt der Drehimpulsvektor 
parallel zur
Winkelgeschwindigkeit mit 
also gilt in diesem Fall 
. Man beachte,
dass diese aus der
Analogie zwischen Linear- und Rotationsbewegung naheliegende Drehimpulsdefinition nicht
die allgemeine ist!
Da die Hauptträgheitsachsen immer Symmetrieachsen darstellen, selbst wenn der Körper selbst nicht symmetrisch ist, kann man im allgemeinen Fall den Gesamtdrehimpuls des Körpers aus den Winkelgeschwindigkeitskomponenten entlang der Hauptträgheitsachsen berechnen:
Wirkt kein äußeres Drehmoment auf einen Körper, so gilt
, d. h. der Gesamtdrehimpuls bleibt nach
Betrag und Richtung erhalten.
Versuch: kardanisch gelagerter Kreisel
Versuch: Schlag auf kardanisch gelagerten Kreisel
Ist hier der Drehimpuls erhalten? Die nachfolgende Abbildung verdeutlicht die Verhältnisse in diesem Fall:
Nach dem Schlag handelt es sich wieder um einen "freien" Kreisel, d. h. einen Kreisel ohne äußere Kraftwirkung.
Der Gangpolkegel, der symmetrisch zur Figurenachse des Kreisels liegt rollt auf dem Rastpolkegel ab. Die Berührungslinie von Gang- und Rastpolkegel zeigt in Richtung der augenblicklichen Drehachse. Die Symmetrieachse des Rastpolkegels ist ortsfest. Der - erhaltene - Drehimpuls liegt in Richtung dieser Symmetrieachse des Rastpolkegels. Die Figurenachse bewegt sich auf einem Kegel, den man den Nutationskegel nennt.
Die nächste Abbildung, die der vorhergehenden überlagert werden kann, zeigt, wie sich der Gesamtdrehimpuls aus Komponenten entlang der Hauptträgheitsachsen zusammensetzen lässt. Eine Hauptträgheitsachse liegt entlang der Figurenachse, die anderen senkrecht dazu.
Versuch: Drehstuhlversuch mit Hanteln (Pirouette)
Um den Drehimpuls konstant zu halten, muss sich bei abnehmenden Trägheitsmoment (durch Anziehen der Arme) die Winkelgeschwindigkeit entsprechend erhöhen.
Versuch: Drehstuhlversuch mit rotierendem Kreisel (Fahrradrad)
Bei waagrechtem Kreiseldrehimpuls müssen Stuhl und Prof einen Drehimpuls annehmen, so dass die Summe mit dem Kreiseldrehimpuls den ursprünglichen Drehimpuls ergeben. Dabei wird nur die zur Drehachse parallele Komponente des Professorendrehimpulses wirksam.
Wird das Rad um 180° gedreht ist die Drehgeschwindigkeit maximal, da der Professorendrehimpuls antiparallel zum ursprünglichen Drehimpuls liegt.
Wirkung äußerer Drehmomente auf den Drehimpuls
Zur Vereinfachung der Diskussion werden die Fälle, dass das Drehmoment parallel bzw. senkrecht zum Drehimpuls des Körpers liegt unterschieden:
:
Der Betrag des Drehimpulses wird geändert. Das Bild zeigt die Situation,
dass
Drehmoment und Drehimpuls gleichgerichtet liegen. Hier nimmt der Drehimpuls um 
zu und die Scheibe dreht sich schneller.
Sind Drehmoment und Drehimpuls entgegen gerichtet wird die Drehbewegung abgebremst.
:
Versuch: Kreisel am Faden
Wirkt ein Drehmoment senkrecht zum Drehimpuls, so weicht dessen Spitze immer in Richtung des Drehmoments aus, der Körper "präzediert". Von oben dargestellt ergibt sich das folgende Bild:
Die Präzessionsgeschwindigkeit lässt sich leicht berechnen: 
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Prof. Dr. M. Wülker |